דן מושייב מכהן כנגן הטימפני הראשי של התזמורת הפילהרמונית מאז שנת 2004, עת התקבל לתפקיד בהיותו בן 18 בלבד – הנגן הצעיר ביותר בהיסטוריה של התזמורת שהתמנה לתפקיד ראשי.
הוא נולד באוזבקיסטן ועלה לישראל עם משפחתו בשנת 1990. את דרכו המוזיקלית החל בלימודי כלי הקשה בהדרכת אביו, יוסף מושייב, ובמקביל למד נגינה בקלרנינט ובפסנתר. בשנת 1999 החל את לימודיו אצל אלון בור. הוא בוגר התיכון לאטמנויות ע"ש תלמה ילין, ובשנת 2003 החל את שירותו הצבאי כמוזיקאי מצטיין, שבמהלכו המשיך לנגן בפילהרמונית הישראלית.
בין השנים 2003–2010 שימש כנגן הטימפני הראשי בתזמורת דיוואן מזרח־מערב תחת שרביטו של דניאל בארנבוים, ובשנת 2008 הופיע עם התזמורת הסימפונית האיטלקית ע"ש טוסקניני בניצוחו של לורין מאזל. לאורך הקריירה ניגן תחת שרביטם של גדולי המנצחים, בהם זובין מהטה, דניאל בארנבוים, לורין מאזל, קורט מזור, ריקרדו מוטי, פייר בולז, כריסטוף פון דוהנאני, רפאל פריבק דה בורגוס, קיריל פטרנקו ורבים אחרים.
הוא זכה למלגות ולתמיכת קרן התרבות אמריקה־ישראל בשנים 1999–2004. הופיע כסולן עם הפילהרמונית הישראלית בנגינה בטימפני, במרימבה ובדואו כלי הקשה עם אחיו, מארק מושייב. בשנת 2004 זכה הדואו במקום הראשון בתחרות למוזיקה קאמרית של בית הספר למוזיקה ע"ש בוכמן־מהטה באוניברסיטת תל אביב. בנוסף, הוא משתתף בקביעות בהרכבים קאמריים שונים ומופיע על בימות בארץ ובעולם.
לצד פעילותו הבימתית, הוא מלמד באקדמיה למוסיקה ולמחול בירושלים, שימש כמורה בשנותיו הראשונות של המרכז לכלי הקשה הארצי "טרמולו", מדריך כיתות אמן בארץ ובחו"ל, ומשמש כשופט בתחרויות מוזיקה. בנוסף, הוא משמש כפרזנטור של חברת הטימפני הבינלאומית "הרדטקה".
דן מושייב נשוי לעדן ואב לארבעה – בנימין, נפתלי, שמואל ורבקה. מאז 2009 הוא מעמיק בלימודי היהדות, ובשעות הפנאי עוסק בייצור יין ביתי.